longitud de arco

hola buenos tardes en la clase del día 29/06/24 se vio un tema relacionado al tema  "longitud de arco" 

Longitud de Arco (Cálculo)

Uso del Cálculo para encontrar la longitud de una curva.
(Por favor, lee primero sobre Derivadas e Integrales).

Imagina que queremos encontrar la longitud de una curva entre dos puntos. Y la curva es suave (la derivada es continua).

Primero dividimos la curva en pequeñas longitudes y usamos la fórmula de Distancia entre dos puntos en cada longitud para obtener una respuesta aproximada:

La distancia de x₀ a x₁ es:

S₁ = √ (x₁ − x₀)² + (y₁ − y₀)²

Y sea Δ (delta) la diferencia entre valores, de modo que tenemos:

S₁ = √ (Δx₁)² + (Δy₁)²

Ahora solo necesitamos muchos más segmentos:

S₂ = √(Δx₂)² + (Δy₂)²
S₃ = √(Δx₃)² + (Δy₃)²
...
...
S_n = √(Δx_n)² + (Δy_n)²

 

Podemos escribir todas esas líneas en una sola línea usando una Suma:

S ≈ 

n

i=1

 √(Δx_i)² + (Δy_i)²

¡Pero todavía estamos condenados a una gran cantidad de cálculos!

Tal vez podamos hacer una hoja de cálculo grande o escribir un programa para hacer los cálculos ... pero intentemos algo más.

Tenemos un plan astuto:

• hagamos que todos los Δx_i sean iguales para que podamos extraerlos del interior de la raíz cuadrada
• y luego convertir la suma en una integral.

Hagámoslo:

Primero, dividamos y multipliquemos Δy_i por Δx_i:

S ≈ 

n

i=1

 √(Δx_i)² + (Δx_i)²(Δy_i/Δx_i)²

Ahora factorizamos (Δx_i)²:

S ≈ 

n

i=1

 √(Δx_i)²(1 + (Δy_i/Δx_i)²)

Sacmos (Δx_i)² de la raíz cuadrada:

S ≈ 

n

i=1

 √1 + (Δy_i/Δx_i)²  Δx_i

Ahora, a medida que n tiende a infinito (a medida que nos dirigimos hacia un número infinito de cortes, y cada corte se vuelve más pequeño) obtenemos:

S = 

lim

n→∞

 

n

i=1

 √1 + (Δy_i/Δx_i)²  Δx_i

Ahora tenemos una integral y escribimos dx para indicar que los cortes Δx se acercan a un ancho cero (lo mismo para dy):

S = 

b

a

 √1+(dy/dx)² dx

Y dy/dx es la derivada de la función f(x), que también se puede escribir f’(x):

S = 

b

a

 √1+(f’(x))² dx
La Fórmula de Longitud de Arco

Y ahora, de repente, estamos en una posición mucho mejor, no necesitamos sumar muchos cortes, podemos calcular una respuesta exacta (si podemos resolver el diferencial y la integral).

Nota: la integral también funciona con respecto a y, útil si conocemos x = g(y):

S = 

d

c

 √1+(g’(y))² dy

Así que los pasos a seguir son:

• Encontrar la derivada de f’(x)
• Resolver la integral de √1 + (f’(x))² dx

Algunos ejemplos sencillos para empezar:

Ejemplo: Encuentra la longitud de f(x) = 2 entre x=2 y x=3

f(x) es solo una línea horizontal, por lo que su derivada es f’(x) = 0

Comienza con:

S = 

3

2

 √1+(f’(x))² dx

Pon f’(x) = 0:

S = 

3

2

 √1+0² dx

Simplifica:

S = 

3

2

 dx

Calcula la Integral:

S = 3 − 2 = 1

Entonces, la longitud del arco entre 2 y 3 es 1. Bueno, por supuesto que lo es, ¡pero es bueno que hayamos encontrado la respuesta correcta!

Punto interesante: la parte "(1 + ...)" de la fórmula de longitud del arco garantiza que obtenemos al menos la distancia entre los valores de x, como este caso donde f’(x) es cero.

Ejemplo: Encuentra la longitud de f(x) = x entre x=2 y x=3

La derivada f’(x) = 1

Comienza con:

S = 

3

2

 √1+(f’(x))² dx

Pon f’(x) = 1:

S = 

3

2

 √1+(1)² dx

Simplifica:

S = 

3

2

 √2 dx

Calcula la Integral:

S = (3−2)√2 

= √2

Y la diagonal a través de una unidad cuadrada es realmente la raíz cuadrada de 2, ¿verdad?

Bien, ahora las cosas más difíciles. Un ejemplo del mundo real.

Ejemplo: Se han instalado postes metálicos separados por 6m en un desfiladero.

Encuentra la longitud del puente colgante que sigue la curva:

f(x) = 5 cosh(x/5)

Aquí está la curva real:

¡Resolvamos primero el caso general!

Un cable colgante forma una curva llamada catenaria:

f(x) = a cosh(x/a)

Los valores más grandes de a tienen menos hundimiento en el medio
Y "cosh" es la función coseno hiperbólico.

La derivada es f’(x) = sinh(x/a)

La curva es simétrica, por lo que es más fácil trabajar solo en la mitad de la catenaria, desde el centro hasta el final en "b":

Comienza con:

S = 

b

0

 √1+(f’(x))² dx

Pon f’(x) = sinh(x/a):

S = 

b

0

 √1 + sinh²(x/a) dx

Usa la identidad 1 + sinh²(x/a) = cosh²(x/a):

S = 

b

0

 √cosh²(x/a) dx

Simplifica:

S = 

b

0

 cosh(x/a) dx

Calcula la Integral:

S = a sinh(b/a)

Ahora, recordando la simetría, vayamos de −b a +b:

S = 2a sinh(b/a)

En nuestro caso específico, a = 5 y el tramo de 6 m va de −3 a +3

S = 2×5 sinh(3/5)
= 6.367 m (redondeado a mm)

¡Es importante saberlo! Si lo construimos con una longitud de exactamente 6m, no habría forma de que podamos tirar de él con la fuerza suficiente para que entre en contacto con los postes. Pero a 6.367 m funcionará muy bien.

 

Ejemplo: Encuentra la longitud de y = x^(3/2) de x = 0 a x = 4.

 

La derivada es y’ = (3/2)x^(1/2)

Comienza con:

S = 

4

0

 √1+(f’(x))² dx

Pon (3/2)x^(1/2):

S = 

4

0

 √1+((3/2)x^(1/2))² dx

Simplifica:

S = 

4

0

 √1+(9/4)x dx

Podemos usar integración por sustitución:

• u = 1 + (9/4)x
• du = (9/4)dx
• (4/9)du = dx
• Límites: u(0)=1 y u(4)=10

Y nos queda:

S = 

10

1

 (4/9)√u du

Integra:

S = (8/27) u^(3/2) de 1 a 10

Calcula:

S = (8/27) (10^(3/2) − 1^(3/2)) = 9.073...

Conclusión

La fórmula de longitud de arco para una función f(x) es:

S = 

b

a

 √1+(f’(x))² dx

Pasos:

• Calcula la derivada de f(x)
• Escribe la fórmula de longitud de arco
• Simplifica y resuelve la integral.

 para mayor compendizase veremos unos breves videos para poder entender un poco mejor.

https://youtu.be/Fg9C0cckeek

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https://youtu.be/qVnnS5pMoqQ

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https://youtu.be/iGpaIGN9EHg